AlexHutor писал(а):
Сюжет закручивается по всем законам жанра)
Ребята, математики, мы на вас очень рассчитываем, народ в нетерпении
Обнаружив, что данная тема интересна не только мне, я всё-таки решил поднажать на решение системы уравнений, моделирующей связанное колебание двух струн описанным мною выше способом, т.е. упрощённо представляя каждую струну как массу, подвешенную на двух пружинках. Поскольку, как я уже упоминал, мне лень было писать программу для решения уравнений 5-й степени, я решил сделать так: рассчитывать с помощью LibreOffice Calc (аналог Excel) коэффициенты алгебраических уравнений для каждого сочетания параметров системы (т.е. для всевозможных значений разности частот двух струн, которые они имеют, когда звучат каждая по отдельности, при неизменных прочих параметрах - массе "струны", средней частоте и импедансе штега), а затем вставлять коэффициенты уравнения в веб-форму онлайн-калькулятора для поиска корней уравнений. Я использовал вот этот:
http://www.hvks.com/Numerical/websolver.php . Затем найденные корни вручную вставлял обратно в эл. таблицу для дальнейшей интерпретации. По результатам построил таблицу и график, наглядно отражающий зависимость трёх величин - разности частот (т.е. скорости биений) Δf, какая она получается именно при связанном звучании струн, а также декремента затухания в "быстрой" и "долгой" фазах - от разности частот Δ0f при
раздельном звучании струн. Также в левой части таблицы есть столбцы, содержащие частоты и декременты затухания каждой из струн при раздельном их звучании (индексы 1 и 2 - это 1-я и 2-я струны соответственно, а индекс "ср" - среднее значение).
При этом эффективную колеблющуюся массу струны я полагал равной 1/2 от полной массы струны (длиной 40 см и диаметром 1 мм), поскольку не все точки струны колеблются с одинаковой амплитудой - где-то амплитуда больше, где-то меньше. Можно сказать, что в том режиме колебаний, когда стоячая волна в струне имеет всего одну пучность, основная часть "жёсткости" струны сосредоточена вблизи её концов, т.е. узлов, т.к. там струна больше всего работает на растяжение, а основная часть колеблющейся массы - ближе к пучности, т.к. там амплитуда колебаний наибольшая. Входной импеданс штега принимается за 1000 кг/с, средняя частота - 440 Гц.
Из графика и таблицы видно, что существует некоторая зона (назовём её симпатической - я использую кальку со словосочетания sympathetic range, которое мне когда-то давно встречалось на каком-то пиндосском сайте, где речь шла об этом явлении, т.е. сближении частот струн хора при их связанном звучании), такая, что если частоты колебаний двух струн по отдельности попадают в эту зону, то при совместном звучании они резко и сильно сближаются друг с другом. По виду графика даже может показаться, что разность между ними становится нулевой, но если присмотреться к таблице, то ясно, что это всё-таки не совсем так - она становится просто очень маленькой. Видно также, что более низкая частота-таки затухает быстрее, а более высокая - медленнее. Видно, что при приближении Δ0f к нулю декремент затухания в "быстрой" фазе приближается к удвоенному значению декремента при раздельном звучании струн (обозначено зелёной линией), что вполне логично и ожидаемо: ведь если частоты колебаний двух струн в точности совпадают, то, очевидно, будучи возбуждёнными синфазно, они будут и продолжать колебаться синфазно, раскачивая деку с вдвое большей (в случае двухструнного хора) силой. А также видно то, что если две частоты не попадают в симпатическую зону, то декремент затухания и в быстрой, и в долгой фазах приблизительно равен декременту при раздельном звучании струн, что, в общем-то, тоже логично, т.к. чем сильнее частоты струн различаются, тем менее их колебания становятся связанными.
Что касается ширины симпатической зоны, то похоже, что она связана с декрементом затухания при раздельном звучании струн, а именно равна этому декременту, поделённому на Пи (если выражать в герцах). То есть если бы, например, импеданс штега был больше либо масса струны была бы меньше, то симпатическая зона была бы у́же.
Повторю ещё раз, что совсем не факт, что в такой системе одна из двух струн непременно колеблется только с одной частотой и затухает быстрее, а другая струна - с другой частотой и затухает медленнее. Скорее всего, опять же повторюсь, колебания и той, и другой струны являются взвешенной суммой и того, и другого базисных колебаний. В принципе, зная корни уравнений системы, можно было бы найти эти весовые коэффициенты, а значит, как бы "посмотреть", какой именно характер имеют колебания той и другой струны именно при их связанном звучании. Это потребовало бы ещё некоторых манипуляций над системой уравнений - тривиальных, но рутинных. Этого я сделать пока не успел.
Могу предоставить все выкладки и эл. таблицу, при помощи которой всё это было рассчитано.
P.S. И ещё ссылочка:
http://www.pianofundamentals.com/book/en/2.5.4