Недавние упоминания на форуме трудов Порвенкова и его курсов по освоению терц-секста в Квинте-2 послужили для меня толчком разобраться в этом терц-сексте. Всюду проскальзывали упоминания некоей теории, которую когда курсанты узнают - сразу все начинают понимать и освоение настройщицкого дела идёт гораздо быстрее. Однако, полноценного изложения теории в виде понятном математику я нигде не встретил. Поэтому отчасти пришлось её формулировать самому для самого себя же.
Не сочтите за труд - взгляните на выкладки. Вдруг и в самом деле тут все верно
Вот экспоненты кривых расчетных биений основных интервалов:
Соотношение биений в соседних (разноименных) интервалах не зависит от места расположения соседей в диапазоне фортепиано а лишь - от дистанции между этими соседями. Это свойство экспоненты. Если где-нибудь на этом графике провести горизонтальную прямую, то она пересечет сразу несколько экспоненциальных кривых. В точках пересечения мы имеем все шансы найти пары интервалов, частоты биений в которых соотносятся как 1 (единица). То есть, расчетные частоты биений этих интервалов будут равны. Это и будут случаи когда для проверки и/или настройки одного интервала, можно использовать пару других.
Остаётся подогнать решение под ответ. То есть, найти все такие возможные интервалы, биения в которых которые соотносятся таким прекрасным образом. Это и будет (надеюсь), совокупностью приемов, известным под общим названием терц-секст с неизменным успехом применяемой в практике не только последователями Порвенкова и Марка Церизано, но и многими другими.
В частности, мне было любопытно, обнаружу ли я все известные проверочные комбинации имеющие смысл. А также - появятся ли какие-нибудь интересные новые? И ещё: каковы будут комбинации интервалов, соотношения расчетных биений в которых не равны в точности единице но сильно близки к ней?
Небольшая программа реализовала мои прихоти простым перебором:
Код:
my @i=split(/\n/,
"4=большая терция=5:4
3=малая терция=6:5
7=квинта=3:2
5=кварта=4:3
16=большая децима=5:2
8=малая секста=8:5
9=большая секста=5:3
12=октава=2:1
19=дуодецима=3:1
28=септдецима=5:1");
foreach (@i) {
my($s,$n,$n1,$n2) = split(/=/,$_);
$i{$s} = $n;
($n1{$s},$n2{$s}) = ($n1,$n2);
}
my $D=0.4; # beats proportion should differ from 1/1 no more than $D
foreach my $i1 (keys %i) { foreach my $i2 (keys %i) {
my $z = abs( ($n1{$i1}-$n2{$i1}*(2.0 ** ($i1/12.0))) / ($n1{$i2}-$n2{$i2}*(2.0 ** ($i2/12.0))) );
my($t1,$t2) = ($i{$i1},$i{$i2});
$i3=$i2-$i1; $t3=$i{$i3};
if(defined($i{$i3})) {
$d = sprintf("%.2f",abs(1 - (2.0 ** ($i3/12.0)) * $z ));
print("$d -- $i3=$i2-$i1 -- $t3 = $t2 - $t1 -- опорный для '$t2' ниже опорного для '$t1' на '$t3'\n") if($d<$D);
}
$i3=$i1+$i2; $t3=$i{$i3};
if(defined($i{$i3})) {
$d = sprintf("%.2f",abs(1 - (2.0 ** ($i2/12.0)) * $z ));
print("$d -- $i3=$i2+$i1 -- $t3 = $t2 + $t1 -- опорный для '$t2' ниже опорного для '$t1' на '$t2'\n") if($d<$D);
}
$i3=$i1-$i2; $t3=$i{$i3};
if(defined($i{$i3})) {
$d = sprintf("%.2f",abs(1 - (2.0 ** (0.0/12.0)) * $z ));
print("$d -- $i3=$i1-$i2 -- $t3 = $t1 - $t2 -- опорный для '$t2' совпадает с опорным для '$t1'\n") if($d<$D);
}
}}
В выдаче программы я обнаружил всё чего мог желать. Первая цифра в каждой строке соответствует отклонению соотношения биений от единицы. Если это 0.00 - проверочная комбинация идеальна.
Код:
0.00 -- 12=16-4 -- октава = большая децима - большая терция -- опорный для 'большая терция' совпадает с опорным для 'большая децима'
0.00 -- 12=19-7 -- октава = дуодецима - квинта -- опорный для 'квинта' совпадает с опорным для 'дуодецима'
0.00 -- 12=28-16 -- октава = септдецима - большая децима -- опорный для 'большая децима' совпадает с опорным для 'септдецима'
0.00 -- 12=5+7 -- октава = кварта + квинта -- опорный для 'кварта' ниже опорного для 'квинта' на 'кварта'
0.00 -- 19=28-9 -- дуодецима = септдецима - большая секста -- опорный для 'большая секста' совпадает с опорным для 'септдецима'
0.00 -- 19=7+12 -- дуодецима = квинта + октава -- опорный для 'квинта' ниже опорного для 'октава' на 'квинта'
0.00 -- 5=8-3 -- кварта = малая секста - малая терция -- опорный для 'малая секста' ниже опорного для 'малая терция' на 'кварта'
0.00 -- 5=9-4 -- кварта = большая секста - большая терция -- опорный для 'большая терция' совпадает с опорным для 'большая секста'
0.00 -- 7=16-9 -- квинта = большая децима - большая секста -- опорный для 'большая секста' совпадает с опорным для 'большая децима'
0.00 -- 7=19-12 -- квинта = дуодецима - октава -- опорный для 'дуодецима' ниже опорного для 'октава' на 'квинта'
0.01 -- 12=3+9 -- октава = малая терция + большая секста -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'большая секста' на 'малая терция'
0.01 -- 12=8+4 -- октава = малая секста + большая терция -- опорный для 'малая секста' ниже опорного для 'большая терция' на 'малая секста'
0.01 -- 16=28-12 -- большая децима = септдецима - октава -- опорный для 'септдецима' ниже опорного для 'октава' на 'большая децима'
0.01 -- 16=9+7 -- большая децима = большая секста + квинта -- опорный для 'большая секста' ниже опорного для 'квинта' на 'большая секста'
0.01 -- 19=3+16 -- дуодецима = малая терция + большая децима -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'большая децима' на 'малая терция'
0.01 -- 28=16+12 -- септдецима = большая децима + октава -- опорный для 'большая децима' ниже опорного для 'октава' на 'большая децима'
0.01 -- 28=9+19 -- септдецима = большая секста + дуодецима -- опорный для 'большая секста' ниже опорного для 'дуодецима' на 'большая секста'
0.01 -- 4=9-5 -- большая терция = большая секста - кварта -- опорный для 'большая секста' ниже опорного для 'кварта' на 'большая терция'
0.01 -- 7=3+4 -- квинта = малая терция + большая терция -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'большая терция' на 'малая терция'
0.01 -- 9=16-7 -- большая секста = большая децима - квинта -- опорный для 'большая децима' ниже опорного для 'квинта' на 'большая секста'
0.01 -- 9=28-19 -- большая секста = септдецима - дуодецима -- опорный для 'септдецима' ниже опорного для 'дуодецима' на 'большая секста'
0.01 -- 9=4+5 -- большая секста = большая терция + кварта -- опорный для 'большая терция' ниже опорного для 'кварта' на 'большая терция'
0.21 -- 4=8-4 -- большая терция = малая секста - большая терция -- опорный для 'малая секста' ниже опорного для 'большая терция' на 'большая терция'
0.21 -- 8=3+5 -- малая секста = малая терция + кварта -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'кварта' на 'малая терция'
0.25 -- 4=9-5 -- большая терция = большая секста - кварта -- опорный для 'кварта' совпадает с опорным для 'большая секста'
0.26 -- 8=4+4 -- малая секста = большая терция + большая терция -- опорный для 'большая терция' ниже опорного для 'большая терция' на 'большая терция'
0.33 -- 5=12-7 -- кварта = октава - квинта -- опорный для 'квинта' совпадает с опорным для 'октава'
0.33 -- 5=8-3 -- кварта = малая секста - малая терция -- опорный для 'малая терция' совпадает с опорным для 'малая секста'
0.33 -- 5=9-4 -- кварта = большая секста - большая терция -- опорный для 'большая секста' ниже опорного для 'большая терция' на 'кварта'
0.38 -- 8=16-8 -- малая секста = большая децима - малая секста -- опорный для 'малая секста' совпадает с опорным для 'большая децима'
Вот, например, отдельно - возможные способы проверки октав:
Код:
0.00 -- 12=16-4 -- октава = большая децима - большая терция -- опорный для 'большая терция' совпадает с опорным для 'большая децима'
0.00 -- 12=19-7 -- октава = дуодецима - квинта -- опорный для 'квинта' совпадает с опорным для 'дуодецима'
0.00 -- 12=28-16 -- октава = септдецима - большая децима -- опорный для 'большая децима' совпадает с опорным для 'септдецима'
0.00 -- 12=5+7 -- октава = кварта + квинта -- опорный для 'кварта' ниже опорного для 'квинта' на 'кварта'
0.01 -- 12=3+9 -- октава = малая терция + большая секста -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'большая секста' на 'малая терция'
0.01 -- 12=8+4 -- октава = малая секста + большая терция -- опорный для 'малая секста' ниже опорного для 'большая терция' на 'малая секста'
А вот - комбинации для проверки квинт:
Код:
0.00 -- 7=16-9 -- квинта = большая децима - большая секста -- опорный для 'большая секста' совпадает с опорным для 'большая децима'
0.00 -- 7=19-12 -- квинта = дуодецима - октава -- опорный для 'дуодецима' ниже опорного для 'октава' на 'квинта'
0.01 -- 7=3+4 -- квинта = малая терция + большая терция -- опорный для 'малая терция' ниже опорного для 'большая терция' на 'малая терция'
Кварт:
Код:
0.00 -- 5=8-3 -- кварта = малая секста - малая терция -- опорный для 'малая секста' ниже опорного для 'малая терция' на 'кварта'
0.00 -- 5=9-4 -- кварта = большая секста - большая терция -- опорный для 'большая терция' совпадает с опорным для 'большая секста'
0.33 -- 5=12-7 -- кварта = октава - квинта -- опорный для 'квинта' совпадает с опорным для 'октава'
0.33 -- 5=8-3 -- кварта = малая секста - малая терция -- опорный для 'малая терция' совпадает с опорным для 'малая секста'
0.33 -- 5=9-4 -- кварта = большая секста - большая терция -- опорный для 'большая секста' ниже опорного для 'большая терция' на 'кварта'
Видно что не все из них идеальны. Первыми в списке я поставил те варианты соотношение биений в которых в точности равно единице. Далее идут, по моему разумению, менее пригодные комбинации интервалов.
P.S.: Хорошие идеи витают в воздухе. Представив это всё себе в таком виде я понял что даже
мой алгоритм настроечной программы поступает с интервалами похожим образошм.