Глубокоуважаемые Владимир Алексеевич и Александр Захарьевич!
Если вы вообразили, что я потому долго не отвечал на ваши критические возражения, что они повергли меня в состояние глубочайшей депрессии и я трачу время на обдумывание «ничтожности Вселенной вообще и Человека в частности» (А. П. Чехов), то уверяю вас, что это не так. Заели текущие дела. Но теперь наметился просвет, и я им пользуюсь. Для начала признáюсь, что дискуссия на предложенном вами уровне составляет для меня величайшее удовольствие, а также робко надеюсь, что остальных коллег ознакомление с её ходом и содержанием не утомит или хотя бы утомит не очень.
Теперь, после реверанса, – к сути.
Klopff писал(а):
При всем моем глубочайшем уважении к Александру Владимировичу, я не могу согласиться с ним в отношении следующего.
Как сказано, "Платон мне друг, но истина дороже."
Понятие "цент" выведено из классической математической модели РТС, где октава - это ровно 2 : 1, полутон - это корень 12-й степени из 2 : 1, а цент - это корень 1200-й степени из 2 : 1 или, что то же самое, корень 100-й степени из 1,05946309..., то есть из коэффициента полутона математического РТС. Таким образом, цент ВСЕГДА равен 1,0005777895... : 1, независимо от того, какой конкретный живой интервал мы такими центами измеряем. Иначе говоря, цент есть стабильная строго определенная единица измерения величины музыкальных интервалов.
А следовательно, возможна и октава размером меньше или больше 1200 центов, и полутон размером в 95 или 107 центов.
Уважаемый Владимир Алексеевич! Принимая фрагмент из вышеизложенного как элементарную оговорку и исходя исключительно из личного пристрастия к буквоедству, позволю себе всего лишь небольшое терминологическое уточнение: цент, как я полагаю, не равен 1,0005777895… Цент – это микроскопический музыкальный интервал, равный 1/100 полутона, в котором 1,0005777895… всего лишь его коэффициент, как и величина 1.059463094… не равна полутону, а это всего лишь коэффициент полутона, равного 1/12 октавы (для тех, кто ещё не очень посвящён в основы музыкальной акустики, уточню: под равенством в обоих случаях следует понимать не собственно равенство, а равномерность, что не одно и то же, но здесь не место это объяснять).
Теперь (опять же из позиции неисправимо-безнадёжного буквоеда) о возможности октавы быть меньше или больше 1200 центов или полутоне размером в 95 или 107 центов.
Вы бесконечно правы в том, что: «Понятие "цент" выведено из классической математической модели РТС, где октава - это ровно 2 : 1, полутон - это корень 12-й степени из 2 : 1, а цент - это корень 1200-й степени из 2 : 1 или, что то же самое, корень 100-й степени из 1,05946309..., то есть из коэффициента полутона математического РТС». И Вашу правоту подтверждает такой неоспоримый авторитет, как создатель британской музыкальной энциклопедии сэр Джорж Гроув, однако с одной оговоркой. Привожу толкование термина «цент» из музыкального словаря, созданного на основе этой энциклопедии.
В части оговорки прошу Вас обратить внимание на одну маленькую, но чрезвычайно существенную для нашей дискуссии особенность: Гроув говорит о РАВНОМЕРНО ТЕМПЕРИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ, а не об РТС, то есть РАВНОМЕРНО ТЕМПЕРИРОВАННОМ СТРОЕ, который во времена Гроува, в 80-е годы 19 века, был пока ещё единственным представителем этой СИСТЕМЫ. Провидец Гроув словно бы предчувствовал возможность появления и других представителей, таких, как уже известные нам нынче строй «Григоренко-Кордье» с его равномерными 12 полутонами в границах расширенной на 1/7 пифагоровой коммы октавой и темперация Бернхарда Штоппера с её 19 равномерными полутонами в границах «чистой» дуодецимы (октава+квинта), стопроцентно отвечающие требованиям РАВНОМЕРНО ТЕМПЕРИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ.
Если исключить из суждения фактор распространённости РТС, явления хотя и исторического, но временного (ибо всему, что рождено под луной, когда-нибудь суждено умереть), и согласиться с тем, что все три представителя равномерно темперированной системы по формальным основаниям равноправны, то получается следующее: у каждой из трёх темпераций полутон состоит из 100 центов, а октава из 1200, ибо "ЦЕНТ ЕСТЬ СОТАЯ ЧАСТЬ ПОЛУТОНА РАВНОМЕРНО ТЕМПЕРИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ", а не исключительно РТС. Только центы у темперации Штоппера шире, а у строя "Григоренко-Кордье" ещё шире центов у РТС, следовательно, и октавы соответственно тоже (не буду утомлять расчётами, насколько, хотя сделать это несложно). И тогда утверждение, что, например, октава у Штоппера составляет, допустим, 1202 цента, а полутон 107, не совсем корректно. Правильнее было бы говорить, что полутон у темперации Штоппера шире полутона РТС не просто на столько-то центов, а на столько-то центов РТС, или что полутон РТС ýже полутона темперации Штоппера на столько-то центов темперации Штоппера, а октава у темперации Штоппера шире октавы РТС на столько-то центов РТС, или что октава РТС ýже октавы темперации Штоппера на столько-то центов темперации Штоппера. То же самое применимо и к строю "Григоренко-Кордье".
А также то же самое касается и неравномерных темпераций.
Теперь, уважаемый AlexHutor, отвечаю Вам на все возражения Ваши!
Возражение первое:
AlexHutor писал(а):
Дорогой Александр Владимирович, "(центы РТС)" я написал специально для Вас, помня нашу с Вами дискуссию в 2016 году. Мне понятна Ваша идея с центами, меняющимися в зависимости от размера полутона. Но это же жутко неудобно при любых расчётах! Представляете, какая головная боль была бы у разработчиков настроечных программ, если бы им для неравномерной темперации пришлось бы оперировать разными центами в разных полутонах?
Как следует из вышеприведённых ответов уважаемому Владимиру Алексеевичу, центы, меняющиеся в зависимости от размера полутона, не моя идея, а логический вывод из сопоставления по меньшей мере трёх темпераций, формально равноправно представляющих РАВНОМЕРНО ТЕМПЕРИРОВАННУЮ СИСТЕМУ и при этом имеющих различные по размерности полутоны (и, разумеется, все остальные интервалы, поскольку полутоны, кроме самостоятельных функций в статусе малых секунд, служат ещё и «кирпичиками», из которых все остальные интервалы сложены). Но мне не понятно Ваше беспокойство в адрес разработчиков настроечных программ. Во-первых, они за то и получают деньги, что решают сложные для всех других задачи, причём чем сложнее, тем гонорары выше. Во-вторых, при внимательном ознакомлении эти задачи представляются не такими уж и сложными. Привожу пример.
Нижеприведённые таблицы взяты из брошюры всемирно известного клавесиниста и ярого поборника неравномерных темпераций Андрея Волконского.
Обратите внимание на то, что, во-первых, Волконский для создания различных таких темпераций указывает исторически рассчитанные величины необходимых коррекций в звуковысотных позициях квинтовых тонов, при которых все интервалы приобретают соответствующие этим темперациям размерности; во-вторых, величины коррекций указаны в долях комм: в темперациях Царлино и Шлика – синтонической (СК), в остальных – пифагоровой (ПК). Теперь вообразим, что подготовкой исходных для программирования занялся я, хотя, признаюсь, в компьютерном программировании не понимаю ничегошеньки. Но даже я знаю, что синтоническая комма (разность между пифагоровой большой терцией, образованной четырьмя ходами чистых квинт, и чистой большой терцией) составляет округлённо 21,5 цента, а пифагорова (разность между двенадцатью смежными чистыми квинтами, и семью смежными чистыми октавами) 23,5 цента. Я беру у Царлино, например, тон ля, который должен быть понижен на 0,28 синтонической коммы (-0,28). Далее считаю: согласно правилам пропорции, если 21,5 цента принять за 1, то доля 0,28 от 1 составит 6,02 цента. Затем беру коэффициент цента в РТС 1,00057779, возвожу его в степень 6,02 и получаю коэффициент коррекции частоты тона 1.003483344 (округлённо). Теперь беру частоту ля первой октавы 440 герц, делю на коэффициент коррекции и получаю отличную от РТС эталонную для темперации Царлино частоту этого тона: 440 : 1,003483344 = 438,47 герц (округлённо). Эту частоту я ввожу в качестве эталонной для ля первой октавы в программу темперации Царлино. И так же все остальные тоны. Я не математик, но надеюсь, что ничего не напутал. Кстати, в эпоху появления исторической модели темперации Царлино частота исходного тона ля первой октавы ещё не была стандартизована.
Итак, уважаемый Александр Захарьевич, то, что я только что проделал, это «ЖУТКО НЕУДОБНО» или всё же НЕ ТАК УЖ И ЖУТКО? Полагаюсь в этом на Вашу объективность.
Пойдём дальше, к возражению второму.
AlexHutor писал(а):
Александр Владимирович, мне кажется, что безусловно чистой нельзя назвать ни одну октаву, скорее октавы могут быть условно чистыми.
Это, дорогой А. З., проблемы применения в музыкальной акустике терминологии из другого вида деятельности, в которой рассуждают так. Существует некая биологическая особь, и с точки зрения Природы она – естественное. Но эта биологическая особь мыслит и называет себя человеком. А поскольку мышление о себе уже не Природа, а, как известно, уже Культура, то есть уже искусственное, поскольку создано людьми, исходя из этого упомянутую особь справедливо называть естественно-искусственным, то есть как биологическая особь она естественное, а как мыслящее себя как естественное в средствах им же придуманного языка – искусственное. И тогда, в итоге, неотделимая от человека и мыслимая им Природа как естественное есть естественно-искусственно-естественное. И т. д.
Какое, спрóсите Вы, это имеет отношение к октавам? Как ни странно, непосредственное. Я абсолютно согласен с Вами и Владимиром Алексеевичем, что абсолютно акустически чистых октав не бывает. Иными словами, каждая октава акустически не чиста – и это безусловно. И вот представьте себе настройщика, который говорит себе: «Раз безусловно чистых октав не бывает, то следует ли стремиться к тому, чего не бывает?» Профессиональная этика и его личная совесть ему подсказывают: «Безусловно чистых октав не бывает, но это вовсе не значит, что к идеалу, то есть безусловно чистым октавам, стремиться не нужно. И уровень твоего таланта и профессионализма как раз и определяется тем, до какой степени ты способен приблизить к этому идеалу конечный продукт твоего труда». Следовательно, в профессии настройщика при создании большинства видов темпераций (от пифагорова строя до РТС) понятие безусловно чистых октав как представления об идеале имеет важнейшее и, я бы даже сказал, решающее значение. Но поскольку идеально чистых октав не бывает, для меня (и, как я думаю, для многих настройщиков тоже) существует условность: считать октавы, в которых не прослушиваются переднеплановые биения между интервалообразующими гармониками 2 и 1, безусловно чистыми, то есть условно безусловно чистыми.
AlexHutor писал(а):
Если соблюсти условие математической чистоты октавы (соотношение частот основных тонов 1:2), то такая октава будет зауженная на уровне 2:1 и выше.
Если убрать биения на уровне 2:1, то такая октава будет расширенной с математической позиции (1:2), чистой на уровне 2:1, зауженной на уровне 4:2 и выше.
Если убрать биения на уровне 4:2, то такая октава будет расширена математически (1:2) и на уровне 2:1, чистой на уровне 4:2, зауженной на уровне 6:3 и выше.
И так далее.
Если честно, я не понимаю, что такое МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСТОТА, кроме как МАТЕМАТИЧЕСКИ КОРРЕКТНЫЙ РАСЧЁТ, К КОТОРОМУ РЕЗУЛЬТАТ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИМЕЕТ. Я понимаю, что такое АКУСТИЧЕСКАЯ ЧИСТОТА – отсутствие в звучании переднеплановых биений.
И ещё одно соображение. Планы настройки неравномерных темпераций иногда бывают даны в виде таблиц, в которых указано ПОВЫШЕНИЕ ИЛИ ПОНИЖЕНИЕ НА СТОЛЬКО-ТО ЦЕНТОВ ТОГО ИЛИ ИНОГО ТОНА относительно его звуковысотной позиции в системе РТС, А НЕ РАСШИРЕНИЕ ИЛИ СУЖЕНИЕ ТАКОГО-ТО ИНТЕРВАЛА НА СТОЛЬКО-ТО ЦЕНТОВ, чтобы вследствие этого интервал, в котором участвует корректируемый тон, приобрёл размерность, отвечающую требованиям той или иной музыкально-звуковой системы. Как это делается, я уже продемонстрировал выше.